Часть 2. Необыкновенное число u = a + b - c

Как для числа a^n (a в степени n) число а является основанием, так для числа a^n + b^n - c^n можно считать "основанием" число u = a + b - c.
Еще первые ферматисты обнаружили следующие простые свойства чисел a, b, c и u из равенства Ферма (где, как известно, a, b, c есть целые, положительные, а n > 2):
1) c > a > b;
2) u > 0;
3) из a - c < 0 следует, что a + b - c = u < b;
4) число нулей k на конце числа u как минимум равно двум, т.е. u_(k) = 0, но u_{k+1} = 0, где k > 1.
(Напомню, что в интернетовских текстах u_(k) означает число, состоящее из последних k цифр числа u, т.е. k-значное окончание, а u_{k}, или просто u_k, есть обозначение k-й цифры от конца числа u.)
В данных заметках числа a, b, c рассматриваются в системе с простым основанием счисления n > 2.

Чтобы высветить удивительные свойства числа u, мы приведем его к какому-нибудь простому виду. Для этого в нашем распоряжении имеется всего лишь один инструмент: умножение равенства Ферма на какие-то числа d^n (разумеется, не равные нулю); соответственно числа a, b, c и u будут умножаться на d.
Так как, согласно малой теореме Ферма, число n^(p - 1) - 1 делится на простое p, то число S = n^[(p - 1)(q - 1)... (r - 1)] - 1 делится, очевидно, на произведение простых чисел pq...r. Следовательно, если число а не оканчивается на 0, то из его сомножителей легко составить число S, которое будет делиться на а, давая в частном число d.
Найдем такое число d для числа u/u^k и умножим равенство Ферма на d^n. Соответственно числа a, b, c и u умножатся на d, после чего, за исключением последних k нулей, число u будет состоять из одних "девяток", или цифр n - 1 (в системе счисления с основанием n).
Теперь число u выглядит очень красиво и понятно: 99...9900...00. Обозначим число цифр в числе u буквой t (при этом последние k цифр в числе u есть нули). Исследуем цифры числа u, а заодно и чисел a, b, c.
Оказывается, существуют 4 типа набора u_i, a_i, b_i, c_i. Исследуем их.

1. 1 =< i =< k. Это последние цифры числа u. Так как они равны нулю, то от умножения на d измениться не могут. Интересно, что сумма v_i = a_i + b_i - c_i для i из интервала 1 =< i =< k не может быть отрицательной. Действительно, если даже c_1 = "9", то a_1 + b_1 должна быть равна либо "9", либо "19". Но последнее значение, очевидно, исключается.
Но вот если c_1 будет меньше 9-ти, то a_1 + b_1 может быть равно как c_1, так и c_1 + n. И тогда цифра (v_1)_2 = 1 образует единицу более высокого (второго) разряда и добавится к сумме v_2 = a_2 + b_2 - c_2, образуя цифру u_2.
В свою очередь сумма v_2 + (v_1)_2 может образоваться единицу третьего разряда. И так далее.

2. У цифр i в интервале k+1 =< i =< t есть своя специфика. Если сумма чисел a_(k) + b_(k) - c_(k) не образует единицу разряда k+1, то v_{k+1} = a_{k+1} + b_{k+1} - c_{k+1}, образуя в сумме "9", образовать сверх того единицу разряда k+2 не могут: даже если a_{k+1} и b_{k+1} будут равны "9", то одна из "девяток" должна образовать u_{k+1} = "9", а другая должна быть аннигилирована "противовесом" c_{k+1} = 9. Следовательно, до последней (t-й) цифры ни одна "сверхъединица" образоваться не может.
Иное дело, если (a_(k) + b_(k) - c_(k))_{k+1} = 1. Тогда у цифр a_{k+1}, b_{k+1}, c_{k+1} есть "выбор": либо дать в сумме "8", что вместе с пришедшей "сверхъединицей" даст для u_{k+1} "9", либо наделить цифру c_{k+1} нулем, и тогда цифры a_{k+1} и b_{k+1} могут дать в сумме "18". "Сверхъединица" увеличит это значение до "19", последняя "девятка" останется при u_{k+2}, а новая "сверхъединица" уйдет к цифрам k+2-го порядка. И так далее до цифр t, с которыми может произойти аналогичная история.

3. Несмотря на то, что число u начинается цифрой u_t, в числах a, b, c будут значащие цифры и более высоких разрядов - вплоть до разряда r - числа цифр в числе c. Для цифр i в интервале t+1 =< i =< r верно следующее (важное для доказательства ВТФ) утверждение: последнее v_s, не равное нулю, может быть равно только - 1. Значение v_s = "9" исключается, ибо в противном случае эта "девятка" должна быть дополнена до нуля "сверхъединицей" из предыдущего разряда и вместе с этим образовать "сверхъединицу" следующего разряда. Следовательно, v_{s+1} =/ 0, что противоречит допущению, что v_s последнее ненулевое число.

4. И только цифры, предшествующие r, во всех числах равны нулю.

Среди всех разрядов самым важным для доказательства ВТФ является разряд t+1, для которого v_{t+1} = 0. Но, как будет показано в последней, заключительной, заметке, самые простые расчеты показывают, что t+1-е цифры во всех трех числах a, b, c равны 1. Но тогда даже прибавка "сверхъединицы" из разряда t не может превратить положительное число +1 в ноль.
Итак, до следующей встречи.

Продолжение следует...
Начало : Часть 1


Скачать в формате Word (32 kb)


Виктор Сорокин